GitHubで、Yifan Lu氏がVitaでPSNへのログイン要求を回避することができるtaiHENプラグインnetcheck_bypassをリリースしていました。
netcheck_bypassではPSNヘログインが必要なアプリケーションをux0:tai/config.txtに追加することでプラグインが有効になります。あくまでもログインをバイパスするだけで、それ以外にPSNの機能を使う場合には動作しません。したがってPSN接続が要求されていながら繋がりさえしていればいいようなアプリには有効です。
当然動くもの動かないものが存在します。PSX-Placeのatreyu187氏によると、Netflix、HuluはNG、Network Media Serverや『ワールド オブ ファイナルファンタジー』は問題なく動いたそうです。
現時点での最新版としてnetcheck_bypass v0.1がリリースされています。